Materi Teori Himpunan Untuk Kalangan Umum

Konsep himpunan merupakan dasar untuk matematika dan ilmu computer. Banyak konsepo matematika dimulai dengan himpunan. Contohnya, hubungan antara dua objek disajikan sebagai pasangan terurut objek, konsep pasangan terurut didefinisikan menggunakan himpunan, bilangan-bilangan asli yang merupakan dasar bagi bilangan-bilangan yang lain juga didefinisikan menggunakan himpunan. 

A.  Pengertian Himpunan dan Notasi Himpunan

Himpunan (set) adalah kumpulan dari objek-objek yang berbeda yang terdefinisi dengan jelas. Objek-objek ini disebut elemen atau anggota dari himpunan.

B.  Penulisan Himpunan

• Cara mendaftar/tabular form

yaitu menuliskan elemen-elemen himpunan di dalam kurung kurawal {}.

Contoh: A = {1, 2, 3, 4, 5}

• Cara merumuskan/mendaftar syarat keanggotaan/set builer form

yaitu mendeskripsikan dengan aturan atau predikat anggota yang harus dipenuhi.

Contoh:

C.  Jenis-Jenis Himpunan

• Himpunan Kosong

Himpunan kosong (empty set) adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota, yang dilambangkan dengan   atau {}.

Contoh:

• Himpunan Universal (Semesta)

Himpunan universal (universal set) adalah himpunan yang mempunyai semua elemen di dalam semesta pembicaraan. Himpunan universal dilambangkan dengan U adalah himpunan yang memenuhi 

Contoh:

• Himpunan Bagian (Subset)

Himpunan Bagian (Subset) dilambangkan dengan
  jika dan hanya jika

Contoh: A  B

1)   Finit (berhingga) 
2)   Infinit (tak berhingga) 

• Himpunan Kuasa

Himpunan kuasa (power set) adalah himpunan dari semua himpunan bagian dari A dan dilambangkan dengan 2^A atau P(A).

Contoh: A = {1, 2, 3}

D.  Operasi-Operasi Pada Himpunan

•  Gabungan (Union)

Untuk , gabungan (union) dari A dan B dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen dari A atau B.

Jadi,

Diagram venn untuk :

Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {4, 5, 6}

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

• Irisan (Intersection)

Untuk irisan (intersection) dari A dan B dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen yang termasuk di A dan B.

Jadi, .

Diagram venn untuk :

Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {3, 4, 5, 6}

= {3, 4}

• Saling Asing (Disjoint)

Misalkan

Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {6, 7, 8, 9}

Secara umum, jika A₁, A₂, A₃, …, A_n adalah subhimpunan U, maka dapat dinotasikan dan dapat dinotasikan .

• Selisih (Difference)

Untuk , selisih (difference) dari B dan A dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di A tetapi tidak di B. Untuk

Jadi, .

Diagram venn untuk da:

Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {4, 5, 6}

= {1, 2, 3}

= {5, 6}

• Komplemen (Complement)

Untuk , komplemen (complement) dari A dilambangkan dengan atau A^c atau A^’ adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di U dan tidak di A.

Jadi, .

Diagram venn untuk :

Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4}

  = {5, 6, 7, 8, 9, 10}

• Selisih Simetrik (Symmetric Difference)

Untuk , selisih simetrik (symmetric difference) A dan B dilambangkan dengan adalah himpunan yang terdiri dari semua elemen di A atau di B tetapi tidak dalam keduanya.

Jadi, .

Diagram venn untuk :

Contoh: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4}

B = {4, 5, 6}

 = {1, 2, 3} {5, 6}

 = {1, 2, 3, 5, 6}

E.   Sifat-Sifat Operasi Himpunan

•  Hukum Komutatif

•  Hukum Asosiatif

•  Hukum Distributif

•  Hukum Idempoten

•  Hukum Komplemen

•  Hukum De Morgan

•  Sifat Himpunan Universal

•  Sifat Himpunan Kosong

•  Hukum Identitas

•  Hukum Invers

•  Hukum Dominasi

•  Hukum Absorpsi

F.   Relasi dan Fungsi

•  Pengertian dan Hasil Kali Fungsi

1)   Definisi Fungsi

Contoh:

a)    A = {a, b, c}

B = {p, q}

f : ?

b)   P = {k, l}

Q = {m, n}

f : ?

Note:

Bukan fungsi karena ada 1 elemen pada domain yang berpasangan.

Fungsi onto range = kodomain

2)   Hasil Kali Fungsi

Definisi:

Contoh:

•  Fungsi Invers dan Grafik Invers

1)   Fungsi Invers

Misal suatu fungsi , maka invers dari b dinyatakan dengan

f^-1(b) yaitu:

terdiri dari elemen-elemen A yang dipetakan pada b.

Contoh 1:

Misal f : didefinisikan dengan diagram sebagai berikut:

Maka f^-1(p) = {l} karena l dipetakan ke p, f^-1(q) = {k, m} karena k dan m dipetakan ke q, dan f^-1(r) = {n} karena n dipetakan ke r.

Contoh 2:

Misal g : didefinisikan oleh
Maka g^-1(2) = {-2, 2} karena bayangan dari 2 adalah -2 dan 2, yaitu nilai mutlak dari -2 dan 2 adalah 2.

Sekarang kita perhatikan kembali fungsi maka

 

Contoh 3:

Misal didefinisikan seperti pada contoh 1, jika D = {p, q} maka f^-1(D) = {k, l, m}, karena yang dipetakan ke p atau q adalah k, l, dan m.

Misal  adalah fungsi satu-satu dan pada (onto) maka untuk setiap ,

f^-1(b) mempunyai satu elemen tunggal dalam A.

Oleh karena itu, ada suatu aturan yang memasangkan setiap  adalah fungsi satu-satu dan pada (onto) maka untuk setiap dengan suatu elemen tunggal f^-1(b) dalam A yang dinyatakan oleh f^-1 : .

Contoh 4:

Misal didefinisikan oleh diagram berikut:

Karena adalah fungsi satu-satu dan onto maka f^-1 :  dengan suatu elemen tunggal f^-1(b) dalam A yang dinyatakan oleh f^-1 : ada, yaitu seperti diagram berikut:

Contoh 5:

Misal didefinisikan oleh g(x) = x² maka g^-1 tidak ada karena g bukan fungsi satu-satu.

Teorema Fungsi Invers:

Misal adalah satu-satu dan pada (onto) sehingga f^-1 :  ada, maka:

a)    adalah fungsi satuan pada A.

b)   adalah fungsi satuan pada B.

Contoh I:

Misal dan f^-1 : 

Contoh II:

Misal . Tentukan f^-1(x) dan ?

Jawab:

2)   Grafik Fungsi

Misal suatu fungsi . Grafik f* dari fungsi f terdiri dari semua pasangan terurut yang mana muncul sebagai elemen pertama dan bayangannya sebagai elemen kedua, dinyatakan sebagai:

perlu diperhatikan bahwa yaitu grafik fungsi f merupakan subset dari

A x B.

Contoh 6:

didefinisikan seperti pada contoh 1, maka diperoleh f(k) = q, f(l) = p, f(m) = q, dan f(n) = r, sehingga: f* = {(k, q), (l, p), (m, q), (n, r)}

Contoh 7:

Misal A = {1, 2, 3}, didefinisikan sebagai f(x) = 2x -1 maka diperoleh: g(1) = 1, g(2) = 3, dan g(3) = 5 sehingga: g* = {(1, 1), (2, 3), (3, 5)}

Contoh 8:

Misal (R adalah himpunan bilangan real) didefinisikan sebagai h(x) = x² + 1 maka diperoleh: h(0) = 1, h(-1) = 2, h(1) = 2, … sehingga h* = {…, (-1,2), (0,1), (1,2), …}.

Selanjutnya grafik dari fungsi pada contoh di atas, yaitu f*, g*, dan h* dapat digambarkan pada diagram koordinat Cartesius (bidang Cartesius) secara berturut-turut sebagai berikut:

Grafik suatu fungsi pada diagram koordinat Cartesius apabila diperhatikan mempunyai dua sifat sebagai berikut:

a)    Untuk setiap   maka ada satu pasangan terurut .

b)   Jika dan maka b = c.